ガウスの超幾何微分方程式とクンマー合流型超幾何微分方程式を解いてみた

何のためとは言わんが、ガウスの超幾何微分方程式とクンマァ合流型超幾何微分方程式の解法です。参考にしてください。

※回答があっているかどうか分からないので、自己責任でお願いします

問題

大問１

ガウスの超幾何微分方程式

$\displaystyle {x(1-x)\frac{d^2w}{dx^2}+\{\gamma-(\alpha+\beta+1)x\}\frac{dw}{dx}-\alpha\beta w=0}$

を考える。

(1) ${\gamma}$ が整数でないとき、上記の微分方程式の一般解を求めよ。

(2) ${\gamma=1}$ のとき、上記の微分方程式の一般解を求めよ。

(3) $\displaystyle{(1-x^2)\frac{d^2w}{dx^2}-2x\frac{dw}{dx}+\nu(\nu+1)w=0}$ はルジャンドルの微分方程式である。適当に変数変換することで、ガウスの超幾何微分法方程式になることを示せ。また、 ${x=\pm 1}$ での解析的な解を求めよ。

(4) ${\nu=0,1,2}$ に対する、(3)で求めた解を具体的な形で書け。

大問２

クンマァ合流型超幾何微分方程式

$\displaystyle{x\frac{d^2w}{dx^2}+(\gamma-x)\frac{dw}{dx}-\alpha w=0}$

を考える。

(1) ${\gamma}$ が非整数のとき、この方程式の一般解を求めよ。

(2) ${\gamma=1}$ のとき、この方程式の一般解を求めよ。

(3 ) ${\gamma}$ が2以上の整数のとき、この方程式の一般解を求めよ。

(4) ${\gamma}$ が0以下の整数のとき、この方程式の一般解を求めよ。

(5) $\displaystyle{x\frac{d^2w}{dx^2}+(1-x)\frac{dw}{dx}+\nu w=0}$ はラゲールの微分方程式である。 ${x=0}$ でのこの方程式の解析的な解を求めよ。

(6) ${\nu=0,1,2}$ に対する、(5)で求めた解の具体的な形を書け。

大問３

$\displaystyle{\frac{d^2w}{dx^2}+P(x)\frac{dw}{dx}+q(x)w=0}$

の２つの独立した解を ${w_1,w_2}$ としたとき、

$\displaystyle{\frac{d^2w}{dx^2}+P(x)\frac{dw}{dx}+q(x)w=f(x)}$

の一般解を求めよ。

解答

大問１

(1) 簡単のため、 $\displaystyle {L[x] = x(1-x)\frac{d^2w}{dx^2}+\{\gamma-(\alpha+\beta+1)x\}\frac{dw}{dx}-\alpha\beta w}$ という演算子 ${L[x]}$ を定義する。この微分方程式の解を $\displaystyle{\omega =\sum_{k=0}^{\infty}C_kx^{\rho+k}}$ とおくと、

$\displaystyle\begin{align}\begin{split}L[x] &= x(1-x)\sum_{k=0}^{\infty}C_k(\rho+k)(\rho+k-1)x^{\rho+k-2}+\{\gamma-(\alpha+\beta+1)x\}\sum_{k=0}^{\infty}C_k(\rho+k)x^{\rho+k-1}\\&\quad-\alpha\beta\sum_{k=0}^{\infty}C_kx^{\rho+k}\\&=\sum_{k=0}^{\infty}C_k(\rho+k)(\rho+k-1)x^{\rho+k-1}-\sum_{k=0}^{\infty}C_k(\rho+k)(\rho+k-1)x^{\rho+k}+\sum_{k=0}^{\infty}C_k\gamma(\rho+k)x^{\rho+k-1}\\&\quad-\sum_{k=0}^{\infty}C_k(\alpha+\beta+1)(\rho+k)x^{\rho+k}-\alpha\beta\sum_{k=0}^{\infty}C_kx^{\rho+k}\end{split}\end{align}$

ここで第１,３項に関して、 $\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}a_k = a_0 + \sum_{k=0}^{\infty}a_{k+1}}$ と変形すれば

$\displaystyle\begin{align}\begin{split}L[x]&=\rho(\rho+\gamma-1)C_0x^{\rho-1}+\sum_{k=0}^{\infty}\left[C_{k+1}(\rho+k+1)(\rho+k+\gamma)-C_k(\rho+k+\alpha)(\rho+k+\beta)\right]x^{\rho+k}\\&=0\end{split}\end{align}$

これが常に成り立つには次の二つを満たせばよい。

$\displaystyle{\rho(\rho+\gamma-1) = 0\\C_{k+1} = \frac{(\rho+k+\alpha)(\rho+k+\beta)}{(\rho+k+1)(\rho+k+\gamma)}C_k}$

最初の式を満たす ${\rho}$ をそれぞれ、 ${\rho_1=0, \rho_2=1-\gamma}$ とする。ただし、 ${\gamma\neq1}$ である。
また２つ目の式より、
$\displaystyle\begin{align}C_k &= \frac{(\rho+k-1+\alpha)(\rho+k-1+\beta)}{(\rho+k)(\rho+k-1+\gamma)}C_{k-1}\\&=\frac{(\rho+k-1+\alpha)(\rho+k-1+\beta)}{(\rho+k)(\rho+k-1+\gamma)}\cdot\cdot\cdot\frac{(\rho+\alpha)(\rho+\beta)}{(\rho+1)(\rho+\gamma)}C_0\end{align}$

${(\lambda)_k = \lambda\cdot(\lambda+1)\cdot\cdot\cdot(\lambda+k-1)}$ と書くことにすると、

$\displaystyle{C_k = \frac{(\rho+\alpha)_k(\rho+\beta)_k}{(\rho+1)_k(\rho+\gamma)_k}C_0}$

と係数が求まる。初項 ${C_0}$ を ${C_{01}}$ と ${C_{02}}$ として、
(i) ${\rho = 0}$ のとき
$\displaystyle{w_1 = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_k(\beta)_k}{(k!)(\gamma)_k}C_{01}x^k}$
(ii) ${\rho=1-\gamma}$ のとき
$\displaystyle{w_2 = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha+1-\gamma)_k(\beta+1-\gamma)_k}{(k!)(2-\gamma)_k}C_{02}x^{k+1-\gamma}}$

ここで、 ${(1)_k = k!}$ であることに注意した。したがって一般解は線型結合で表すことができ、
${w = C_1w_1+C_2w_2}$

また、
$\displaystyle{F(\alpha;\beta;\gamma;x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_k(\beta)_k}{(k!)(\gamma)_k}x^k}$
とおく。

(2) ${\gamma = 1}$ のとき、 ${\rho_1=\rho_2}$ となり重解になってしまうのでフロベニウスの方法を用いてもう一つの独立な解を求める必要がある。
$\displaystyle\begin{align}w(\rho,x) &= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\rho+\alpha)_k(\rho+\beta)_k}{(\rho+1)_k(\rho+1)_k}C_0x^{\rho+k}\\&=\sum_{k=0}^{\infty}C_k(\rho)x^{\rho+k}\end{align}$

これを ${\rho}$ で微分して ${\rho=0}$ を代入したものがもう一つの解になる。
$\displaystyle\begin{align}\left.\frac{\partial w}{\partial \rho}\right|_{\rho=0} = \sum_{k=0}^{\infty}\left(\left.\frac{\partial C_k(\rho)}{\partial \rho}\right|_{\rho=0}\right)x^k+\sum_{k=0}^{\infty}C_k(0)x^klogx\end{align}$

$\displaystyle\begin{align}\left.\frac{\partial C_k(\rho)}{\partial \rho}\right|_{\rho=0}&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\rho+\alpha)_k(\rho+\beta)_k}{(\rho+1)_k(\rho+\gamma)_k}\left[\sum_{i=0}^{k-1}\left(\frac{1}{\rho+\alpha+i}+\frac{1}{\rho+\beta+i}-\frac{1}{\rho+1+i}-\frac{1}{\rho+\gamma+i}\right)\right]_{\rho=0,\gamma=1}C_0\\&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_k(\beta)_k}{(k!)^2}\left[\sum_{i=0}^{k-1}\left(\frac{1}{\alpha+i}+\frac{1}{\beta+i}-\frac{2}{1+i}\right)\right]C_0\end{align}$

以上より、もう一つの解 ${w_2'}$ は

$\begin{align}\begin{split}w_2' &= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_k(\beta)_k}{(k!)^2}\left[\sum_{i=0}^{k-1}\left(\frac{1}{\alpha+i}+\frac{1}{\beta+i}-\frac{2}{1+i}\right)\right]C_{02}x^k+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_k(\beta)_k}{(k!)^2}C_{02}x^klogx\end{split}\end{align}$

(3) ルジャンドルの微分方程式に対し、 ${x = 1 - 2x'}$ と変数変換すると、 $\displaystyle{\frac{dw}{dx} = \left(-\frac{1}{2}\right)\frac{dw}{dx'}}$ に注意して代入すれば、

$\displaystyle{x'(1-x')\frac{d^2w}{dx'^2}+(1-2x')\frac{dw}{dx'}+\nu(\nu+1)w = 0}$

これは ${\alpha = \nu+1, \beta = -\nu, \gamma = 1}$ としたガウスの超幾何微分方程式に一致する。ただし、 ${\alpha,\beta}$ は対称性があるので交換可である。この微分方程式の解は ${\gamma}$ の値が1なので(2)のときの解に一致する。

(i) ${x=1}$ のとき

${x'=\frac{1-x}{2}}$ なので ${x'=0}$ であり、(2)の解の ${logx'}$ が発散する。したがってもう一つの解
${w_1}$ だけを選び、

$\displaystyle{w =C_0 \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\nu+1)_k(-\nu)_k}{(k!)^2}C_{01}\left(\frac{1-x}{2}\right)^k}$

(ii) ${x=-1}$ のとき、 ${x = 2x' - 1}$ として変数変換をする。同じようにガウスの超幾何微分方程式に一致する。同様に ${logx'}$ が発散するので、もう一つの解だけを用いて

$\displaystyle{w = C_0\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\nu+1)_k(-\nu)_k}{(k!)^2}C_{01}\left(\frac{x-1}{2}\right)^k}$

が得られる。

(4)
(i) ${\nu = 0}$ のとき、 ${(0)_0 = 1, (0)_n = 0}$ （nは正整数）なので ${k=0}$ のときだけ項が残り

${w = C_0}$

となる。

(ii) ${\nu = 1}$ のとき、 ${(-1)_n}$ の添え字nが大きすぎると、 ${(-1)_k = (-1) \cdot (-1+1) \cdot (-1+2) \cdot\cdot\cdot}$ となるように0が現れる。したがって ${k=1}$ までの項が残り、

$\displaystyle\begin{align}w&=C_0\left[\frac{1\cdot1}{1^2}\cdot1+\frac{2\cdot(-1)}{1^2}\left(\frac{1-x}{2}\right)\right]=C_0x\end{align}$

(iii) ${\nu=2}$ のとき、同様に ${k=2}$ までの項が残り、

$\displaystyle\begin{align} w &= C_0\left[\frac{1\cdot1}{1^2}\cdot1+\frac{3\cdot(-2)}{1^2}\left(\frac{1-x}{2}\right)+\frac{(3\cdot4)\cdot(-2\cdot-1)}{2^2}\left(\frac{1-x}{2}\right)^2\right] \\&=C_0\left[\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{2}\right]\end{align}$

大問２

同様に左辺を ${L[x]}$ として、 $\displaystyle{w = \sum_{k=0}^{\infty}C_kx^{\rho+k}}$ とおくと、

$\displaystyle\begin{align}L[x] &= \sum_{k=0}^{\infty}C_k(\rho+k)(\rho+k-1)x^{\rho+k-1}+\gamma\sum_{k=0}^{\infty}C_k(\rho+k)x^{\rho+k-1}-\sum_{k=0}^{\infty}C_k(\rho+k)x^{\rho+k}-\alpha\sum_{k=0}^{\infty}C_kx^{\rho+k} \\&=\left[\rho(\rho-1+\gamma)\right]C_0x^{\rho-1}+\sum_{k=0}^{\infty}\left[C_{k+1}\left\{(\rho+k)(\rho+k+1)+\gamma(\rho+k+1)\right\}-C_k(\rho+k+\alpha)\right]\\&=0\end{align}$

したがって次式が得られる。

${\rho(\rho+\gamma-1)}$
$\displaystyle{C_k = \frac{(\rho+k-1+\alpha)}{(\rho+k-1+\gamma)(\rho+k)}C_{k-1}}$

よって
$\displaystyle{C_k = \frac{(\rho+\alpha)_k}{(\rho+1)_k(\rho+\gamma)_k}C_0}$

(i) ${\rho = 0}$ のとき、

$\displaystyle{w_1 = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_k}{k!(\gamma)_k}C_{01}x^k}$

(ii) ${\rho = 1-\gamma}$ のとき、

$\displaystyle{w_2 = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha+1-\gamma)_k}{k!(2-\gamma)_k}C_{02}x^{k+1-\gamma}}$

一般解はこれらの線型結合で表すことができ、

${w = c_1w_1+c_2w_2}$

(2) ${\gamma = 1}$ のとき、重解になるのでフロベニウスの方法を用いると、問１と同様に

$\begin{align}\begin{split}w_2' &= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_k}{(k!)^2}\left[\sum_{i=0}^{k-1}\left(\frac{1}{\alpha+i}-\frac{2}{1+i}\right)\right]C_{02}x^k+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_k}{(k!)^2}C_{02}x^klogx\end{split}\end{align}$

これと ${w_1}$ の線型結合が解になる。

(3) ${ \gamma}$ が２以上の整数のとき、正の整数mを用いて ${1-\gamma = -m}$ とおくことができる。すると、(1)のときの解の一つの ${w_2}$ の分母の ${(1-m)_k}$ のために発散してしまう。したがってフロベニウスの方法でもう一つの解を求める。

$\displaystyle{w(\rho+x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\rho+\alpha)_k}{(\rho+1)_k(\rho+\gamma)}C_0x^{\rho+k}}$

とおき、これを ${\rho}$ で微分するがここで発散しないように分母と分子がうまく打ち消すようにするために

$\displaystyle{C_0(\rho) = \frac{(\rho+1)_{2m}}{(\rho+\alpha)_m}}$

とする。微分のために見やすいように整理すると、

$\displaystyle\begin{align}w &= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\rho+\alpha)_k}{(\rho+1)_k(\rho+\gamma)_k}\frac{(\rho+1)_{2m}}{(\rho+\alpha)_m}x^{\rho+k}\\&=\sum_{k=0}^{\infty}A_k(\rho)C_0(\rho)x^{\rho+k}\\&=\left(\sum_{k=0}^{m-1}+\sum_{k=m}^{\infty}\right)A_k(\rho)C_0(\rho)x^{\rho+k}\\&=\sum_{k=0}^{m-1}A_k(\rho)C_0(\rho)x^{\rho+k} + \sum_{k=0}^{\infty}A_{k+m}(\rho)C_0(\rho)x^{\rho+k+m}\end{align}$

ただし、 $\displaystyle{A_k(\rho) = \frac{(\rho+\alpha)_k}{(\rho+1)_k(\rho+\gamma)_k}}$ とおいた。さらに ${A_{k+m}(\rho)C_0(\rho)}$ の項について

$\displaystyle\begin{align}A_{k+m}(\rho)C_0(\rho)&=\frac{(\rho+\alpha)_{k+m}}{(\rho+1)_{k+m}(\rho+\gamma)_{k+m}}\frac{(\rho+1)_{2m}}{(\rho+\alpha)_m}\\&=\frac{1}{(\rho+m+1)_m(\rho+2m+1)_k}(\rho+\alpha+m)_k(\rho+1)_m(\rho+m+1)_m\\&=\frac{(\rho+\alpha+m)_k}{(\rho+2m+1)_k(\rho+1+m)_k}\\&=\frac{\{(\rho+m)+\alpha\}_k}{\{(\rho+m)+\gamma\}_k\{(\rho+m)+1\}_k}\\&=A_k(\rho+m)\end{align}$

以上より、

$\displaystyle{w(\rho,x) = \sum_{k=0}^{m-1}A_k(\rho)C_0(\rho)x^{\rho+k}+\sum_{k=0}^{\infty}A_k(\rho+m)x^{\rho+k+m}}$

次にこれを微分し、 ${\rho = -m}$ を代入する。 ${\rho}$ についての変数が５個あるため、５つの項が生じる。

まず、 ${x^\rho}$ の微分の部分を考える。（２つの項を計算する）
すると、上の式のうち、第１項は分子の ${(-m+1)_{2m}}$ が0になるため微分しても0になる。一方、第２項目は分子と分母の0が打ち消しあうので残る。したがって、微分して代入すると

$\displaystyle{logx \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_k}{k!(m+1)_k}x^k}$

次に、 ${A_k(\rho)}$ の微分については ${C_0(-m) = 0}$ となるのでこれも消える。

そして、 ${A_k(\rho+m)}$ を微分すると、

$\displaystyle\begin{align} &\sum_{k=0}^{^infty}\frac{(\rho+m+\alpha)_k}{(\rho+m+1)_k(\rho+2m+1)_k}\left[\sum_{I = 0}^{k-1}\left(\frac{1}{\alpha+i}-\frac{1}{1+i}-\frac{1}{m+1+i}\right)\right]\\&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_k}{k!(m+1)_k}\left[\sum_{I=0}^{k-1}\left(\frac{1}{\alpha+i}-\frac{1}{1+i}-\frac{1}{m+1+i}\right)\right]x^k\end{align}$

となる。最後の１つの項は ${C_0(\rho)}$ の微分について

$\displaystyle\begin{align}\left(\frac{dC_0(\rho)}{d\rho}\right)_{\rho=-m} &= \frac{(\rho+1)_{2m}}{(\rho+\alpha)_m}\left(\sum_{i = 0}^{2m-1}\frac{1}{\rho+1+i}-\sum_{i=0}{m-1}\frac{1}{\rho+\alpha+i}\right)\\&=\frac{(1-m)_{2m}}{(\alpha-m)_m}\left(\sum_{i=0}^{2m-1}\frac{1}{1-m+i}-\sum_{i=0}^{m-1}\frac{1}{\alpha-m+i}\right)\end{align}$

よって最後の項は

$\displaystyle{\sum_{k=0}^{m-1}\frac{(\alpha-m)_k}{k!(1-m)_k}\frac{(1-m)_{2m}}{(\alpha-m)_m}\left(\sum_{i=0}^{2m-1}\frac{1}{1-m+i}-\sum_{i=0}^{m-1}\frac{1}{\alpha-m+i}\right)x^{k-m}}$

以上の項の足し合わせが、もう一つの独立な解になり、２つの線型結合で一般解が表される。
しかし、 ${\alpha}$ が ${1\leqq\alpha\leqq m}$ を満たすとき、そもそも発散が起きない。したがって、 ${1\leqq\alpha\leqq m}$ のとき、(1)と同じ答えになり、そうでないときだけ上の答えになる。

(4) ${\gamma}$ が０以下の整数のとき、正整数mを用いて ${1-\gamma = m}$ と書ける。このとき、(1)で求めた ${w_1}$ は分母の ${(\gamma)_k}$ で発散してしまう。したがってもう一つの解を求めたい。まず、 ${ w = x^{1-\gamma}V = x^mV}$ としてクンマーの微分方程式に代入したい。

${V' = mx^{m-1}V + x^mV'}$
${V'' = m(m-1)x^{m-2}V + 2mx^{m-1}V' + x^mV''}$

したがって、

$\displaystyle\begin{align}&x\left[m(m-1)x^{m-2}V+2mx^{m-1}V' + x^mV''\right] + (\gamma-x)\left[mx^{m-1}V+x^mV'\right] - \alpha x^mV\\&=x^m\left[xV''+(1+m-x)V'-(m+\alpha)V\right]\\&=0\end{align}$

この形は ${\gamma \rightarrow 1+m , \alpha \rightarrow m+\alpha}$ としたときのVについてのクンマー合流型超幾何微分方程式に相当する。したがってVを求めることができる。ここで ${\gamma}$ に相当するm+1のは、mが正整数なので常に２以上の整数になる。よってVは(3)のときの解になる。ただし、同様に場合わけも必要になる。（解の具体的な形は省略）

(5) ${\gamma = 1 , \alpha = \nu}$ のとき、ラゲールの方程式となる。 ${x = 0}$ のとき、(2)で求めた ${ logx}$ が発散してしまうので、この項を無視すればよく

$\displaystyle{w = C_0\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\nu)_k}{(k!)^2}x^k}$

(6) (i) ${\nu = 0}$ のとき、 ${k = 0}$ の項だけが残り、

${w = C_0x}$

(ii) ${\nu = 1}$ のとき、 ${k=1}$ の項までが残り、

${w = C_0\left[1-x\right]}$

(iii) ${\nu = 2}$ のとき、 ${k=2}$ の項までが残り、

$\displaystyle{w = C_0\left[1 - 2x + \frac{1}{2}x^2\right]}$

大問３

同次方程式の一般解が ${w = C_1w_1 + C_2w_2}$ であるので、定数変化法を用いて ${C_1, C_0}$ をxの変数と考える。wの一階微分は

${ w' = C_1'w_1 + C_2'w_2 + C_1w_1' + C_2w_2'}$

と書ける。次にwの２階微分を考えたいが、先に

${ C_1'w_1 + C_2'w_2 = 0}$

と仮定しておく。すると

${ w'' = C_1'w_1' + C_2'w_2' + C_1w_1'' + C_2w_2'' }$

したがって、 $\displaystyle{w''+P(x)w'+q(x)w=f(x)}$ は

$\displaystyle\begin{align}\begin{split}&C_1'w_1' + C_2'y_2' + C_1w_1'' + C_2w_2'' + P(x)(C_1w_1'+C_2w_2') + q(x)(C_1w_1+C_2w_2)\\&=C_1'w_1'+C_2'w_2'+C_1\left[w_1''+P(x)w_1'+q(x)w_1\right]+C_2\left[w_2''+P(x)w_2'+q(x)w_2\right]\\&=C_1'y_1'+C_2'y_2' \\&=f(x)\end{split}\end{align}$